Question

12．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與AB、CD分別相交于點E、F，連接EC．
（1）求證：OE=OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周長是10，求?ABCD的周長．

Answer 1

分析 根據平行四邊形的性質得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，證出△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四邊形的性質得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由線段垂直平分線的性質得出AE=CE，由已知條件得出BC+AB=10，即可得出?ABCD的周長．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FDO=∠EBO}&{\;}\\{OD=OB}&{\;}\\{∠FOD=∠EOB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周長是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴?ABCD的周長=2（BC+AB）=20．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，全等三角形的性質和判定、線段垂直平分線的性質；熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．