Question

5．已知二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3（m＞3）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且AB=4，與y軸交于點(diǎn)C，⊙M經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，求扇形MAC的面積．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的解析式，可表示出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)AB=4，可求出m的值，從而確定該拋物線的解析式，即可得到A、B、C的坐標(biāo)；根據(jù)B、C的坐標(biāo)，可得到∠OBC=45°，根據(jù)圓周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的長易求得，即可得到半徑AM、MC的長，利用扇形的面積公式，即可求得扇形AMC的面積．

解答 解：設(shè)這條拋物線與x軸交于A（x₁，0）和B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∵y=mx²+（m-3）x-3=（mx-3）（x+1），
∴x₁=-1，x₂=$\frac{3}{m}$，
∴AB=$\frac{3}{m}$-（-1）=4，
即m=1；
∴y=x²-2x-3，
得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵AM=CM，
∴AM=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴R=$\sqrt{5}$，S=$\frac{5}{4}$π．

點(diǎn)評 此題考查了拋物線的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的判定、二次函數(shù)解析式的確定、圓周角定理的運(yùn)用、扇形面積的計(jì)算方法等知識，綜合性強(qiáng)，難度稍大．