Question

【題目】在 中， 于點(diǎn)，點(diǎn)是射線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且交直線(xiàn)于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，求證：．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段 的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AE=CG，理由見(jiàn)解析；（3）CG=AE

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC，根據(jù)同角的余角相等得到∠CBG=∠ACE，根據(jù)ASA證明△ACE≌△CBG，即可得出結(jié)論；
（2）同理即可證明△ACE≌△CBG，即可得出結(jié)論；
（3）同（2）可得∠A=∠GCB=45°，證得∠CGB=∠AEC，可證明△ACE≌△CBG，即可得出結(jié)論．

（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG；
（2）AE=CG；理由如下：
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG；
（3）CG=AE．
證明：同（1）（2）可得∠A=∠GCB=45°，
∵BF⊥CE，
∴∠GDB=∠BFE=90°，
∵∠DBG=∠FBE，
∴∠CGB=∠AEC，
，
∴△ACE≌△CBG（AAS），
∴CG=AE．