Question

如圖，函數(shù)y=

k

2x

和y=

1

2

x的圖象相交于A、B兩點，其中點A的橫坐標為2．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點B的坐標；
（3）在x軸上是否存在點P，使△BOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的點P都求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A點的橫坐標代入正比例函數(shù)的解析式求出A點的坐標，再用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）因為正比例函數(shù)與反比例函數(shù)有兩個交點，解關于兩函數(shù)解析式組成的方程組即可求出B點的坐標；
（3）作BC⊥x軸，垂足為C，由勾股定理求出OB的長，再分OB=OP，OB=BP，BP=OP三種情況討論，分別求出P點坐標即可．

解答：解：（1）∵A為兩函數(shù)圖象的交點，A點橫坐標為2，把A點的橫坐標代入y=

1

2

x得，y=

1

2

×2=1，
∴A（2，1），
設反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

（k≠0），把A（2，1）代入得，
1=

k

2

，k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；（3分）

（2）由

y= 2 x y= 1 2 x

，
解得

x1=2 y1=1

，

x2=-2 y2=-1

，
所以點B的坐標為：（-2，-1）．（5分）
解法二：由對稱性，A與B關于點O對稱；
∵A（2，1），∴B（-2，-1）（5分）

（3）作BC⊥x軸，垂足為C，
∵B（-2，-1），∴OC=2，BC=1，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OB=

OC2+BC2

=

12+22

=

5

．（6分）
分三種情況討論：
①當OB=OP時，P₁（

5

，0），P₂（-

5

，0）；（8分）
②當OB=BP₃時，OP₃=2OC=4，∴P₃（-4，0）．（9分）
③作OB的垂直平分線交OB于D．
設P₄（x，0），則OP₄=BP₄=-x，CP₄=2+x，BC=1．
（2+x）²+1²=（-x）²，
x=-

5

4

∴p₄（-

5

4

，0），（11分）
綜上所述，符合條件的P點坐標為：
P₁（

5

，0）、P₂（-

5

，0）、P₃（-4，0）、p₄（-

5

4

，0）．（12分）

點評：此題綜合性較強，涉及到一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，及等腰三角形的性質，在解（3）時由于不明確等腰三角形的腰，故應分三種情況討論，不要漏解．