Question

3．如圖，在平面直角坐標系中有等腰Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0），B（0，1），C（n，2）．
（1）求n的值；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B，C兩點的對應點是B′，C′，B′，C′是否正好落在某反比例函數(shù)圖象上？若能請求出這個反比例函數(shù)解析式，并求出向右平移幾個單位，若不能，請說明理由；
（3）連接B′，C′，直線B′C′交y軸于點G．問在線段OA′上是否存在點P，使得四邊形OPC′G的面積等于$\frac{11}{2}$？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三點的坐標可表示出AB和AC的長，可得到關于n的方程，可求得n的值；
（2）可設平移m個單位，則可表示出B′、C′的坐標，設反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，代入可得到關于k、m的方程組，可求得k、m的值；
（3）由B′、C′的坐標可求得直線B′C′的解析式，可求得G點坐標，連接OC′，可求得△OC′G的面積，設P（a，0），連接PC′，則可表示出△OPC′的面積，可得到a的方程，可求得a的值，求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵A（-2，0），B（0，1），C（n，2），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（n+2）^{2}+{2}^{2}}$，
∵AB=AC，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{（n+2）^{2}+{2}^{2}}$，解得n=-3或n=-1（不能構成直角三角形，舍去），
∴n的值為-3；
（2）能．理由如下：
假設將△ABC向右平移m個單位，則B′（m，1），C′（m-3，2），
設反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，把B′、C′兩咪的坐標代入得$\left\{\begin{array}{l}{1=\frac{k}{m}}\\{2=\frac{k}{m-3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{k=6}\end{array}\right.$，
∴B′（6，1），C′（3，2），
∴將△ABC向右平移6個單位，B′、C′正好落在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象上；
（3）設直線B′C′的解析式為y=k′x+b，
把B′、C′兩點的坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{6k′+b=1}\\{3k′+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線B′C′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+3，令x=0可得y=3，
∴G（0，3），則OG=3，
如圖，連接OC′、PC′，

∴S_△OGC′=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，S_△OPC′=$\frac{1}{2}$×a×2=a，
∴S_{四邊形OPC′G}=S_△OGC′+S_△OPC′=$\frac{9}{2}$+a，
∴$\frac{9}{2}$+a=$\frac{11}{2}$，解得a=1，此時P點坐標為（1，0），
∴存在點P（1，0），使得四邊形OPC′G的面積等于$\frac{11}{2}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及勾股定理、平移的性質、待定系數(shù)法、三角形的面積、方程思想等知識．在（1）中利用勾股定理得表示出AB、AC的長是解題的關鍵，在（2）中用m表示出B′、C′的坐標是解題的關鍵，在（3）中表示出四邊形OPC′G的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．