Question

12．如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩點(diǎn)，∠BAC=∠DAC，過點(diǎn)C做直線EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧$\widehat{BC}$的長(zhǎng)l．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到結(jié)論；
（2）連接OD，DC，根據(jù)角平分線的定義得到∠DAC=∠OAC，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠ECD=30°，得到∠OCD=60°，得到∠BOC=∠COD=60°，OC=2，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，
∴EF是⊙O的切線；
（2）連接OD，DC，
∵∠DAC=$\frac{1}{2}∠$DOC，∠OAC=$\frac{1}{2}∠$BOC，
∴∠DAC=∠OAC，
∵ED=1，DC=2，
∴sin∠ECD=$\frac{DE}{DC}=\frac{1}{2}$，
∴∠ECD=30°，
∴∠OCD=60°，
∵OC=OD，
∴△DOC是等邊三角形，
∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，
∴l(xiāng)=$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．