Question

（2010•大慶）在平面內，旋轉變換是指某一圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．
活動一：如圖1，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上的一點，AD=2，BD=1，且四邊形DECF是正方形，求陰影部分的面積．

小明運用圖形旋轉的方法，將△DBF繞點D逆時針旋轉90°，得到△DGE（如圖2所示），一眼就看出這題的答案，請你寫出陰影部分的面積：______．
活動二：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，求AE的長．

小明仍運用圖形旋轉的方法，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADG（如圖4所示），則①四邊形AECG是怎樣的特殊四邊形？答：______．AE的長是______．
活動三：如圖5，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，將BC按逆時針方向繞點B旋轉90°得到線段BE，連接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉的性質可知△DBF≌△DGE，則DG=BD=1，那么陰影部分的面積=Rt△ADG的面積=×AD×DG；
（2）根據(jù)旋轉的性質可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四邊形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，則四邊形AECD是矩形，又AE=AD，則矩形AECD是正方形；設BE=x，則DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，進而得出AE的長；
（3）過點B作BG⊥DC于點G，過點E作EF⊥AB與AB的延長線交于點F，通過證明△BCG≌△BEF，從而得出S_△ABE的值．
解答：解：活動一：
∵四邊形DECF是正方形，
∴DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
∴，，
∵AD=2，BD=1，
∴AC=3x，BC=x，
∵AC²+BC²=AB²，
∴9x²+（x）²=9，
解得：x=，
∴DE=DF=，AE=，BF=，
∴S_△ADE+S_△BDF=1，
∴S_陰影=1；
故答案為：1；

活動二：根據(jù)題意得：∠EAG=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=∠G=90°，
∴四邊形AECG是矩形，
∵AE=AG，
∴四邊形AECG是正方形，
∵BC=5，CD=3，
∴設AE=x，則BE=GD=CG-CD=x-3，
BE=BC-EC=5-x，
∴x-3=5-x，
解得：x=4，
∴AE=4．
故答案為：正方形，4；

活動三：過點B作BG⊥DC于點G，過點E作EF⊥AB與AB的延長線交于點F．
∵∠BAD=∠D=∠DGB=90°，
∴四邊形ABGD是矩形，
∴DG=AB=2，
∴CG=DC-DG=4-2=2．
∵∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，
∴∠CBG=∠EBF．
在△BCG與△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
∴△BCG≌△BEF，
∴CG=EF=2．
∴S_△ABE=AB•EF=2．（10分）
點評：本題主要考查了旋轉變換及其性質．在解題中進行旋轉變換的目的在于通過旋轉變換可以使圖形發(fā)生重組，使分散的條件得以集中，然后運用旋轉的“不變性”可以使一些問題迎刃而解．一般來說，當圖形中有“共點等邊”的圖形時，常進行旋轉變換．