Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，點O是AB中點，連接OH，則OH= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：在BD上截取BE=CH，連接CO，OE，
∵∠ACB=90°CH⊥BD，
∵AC=BC=3，CD=1，
∴BD= ，
∴△CDH∽△BDC，
∴ ，
∴CH= ，
∵△ACB是等腰直角三角形，點O是AB中點，
∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，
∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD，
在△CHO與△BEO中， ，
∴△CHO≌△BEO，
∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，
∵OC⊥BO，
∴∠EOH=90°，
即△HOE是等腰直角三角形，
∵EH=BD﹣DH﹣CH= ﹣ ﹣ = ，
∴OH=EH× = ，
故答案為： ．

在BD上截取BE=CH，連接CO，OE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，求得CH= ，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代換得到∠OCH=∠ABD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．