Question

4．如圖△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…，△P₂₀₁₅A₂₀₁₄A₂₀₁₅是等腰直角三角形，點(diǎn)P₁，P₂，P₃，…都在函數(shù)$y=\frac{4}{x}$（x＞0）x的圖象上，斜邊OA₁，A₁A₂，A₂A₃，…A₂₀₁₄A₂₀₁₅都在x軸上，則A₂₀₁₅的坐標(biāo)為（4$\sqrt{2015}$，0）．

Answer 1

分析 首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，知點(diǎn)P₁的橫、縱坐標(biāo)相等，再結(jié)合雙曲線的解析式得到點(diǎn)P₁的坐標(biāo)是（2，2），則根據(jù)等腰三角形的三線合一求得點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；同樣根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)A₁的坐標(biāo)和雙曲線的解析式求得A₂點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)A₁、A₂點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可推而廣之得到A_n點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）可設(shè)點(diǎn)P₁（x，y），
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：x=y，
又∵$y=\frac{4}{x}$，
則x²=4，
∴x=±2（負(fù)值舍去），
再根據(jù)等腰三角形的三線合一，得A₁的坐標(biāo)是（4，0），
設(shè)點(diǎn)P₂的坐標(biāo)是（4+y，y），
又∵$y=\frac{4}{x}$，則y（4+y）=4，即y²+4y-4=0
解得，y₁=-2+2$\sqrt{2}$，y₂=-2-2$\sqrt{2}$，
∵y＞0，
∴y=2$\sqrt{2}$-2，
再根據(jù)等腰三角形的三線合一，得A₂的坐標(biāo)是（4$\sqrt{2}$，0）；
同理得到：點(diǎn)A₃的坐標(biāo)是（4$\sqrt{3}$，0），
…
則A_n點(diǎn)的坐標(biāo)是（4$\sqrt{n}$，0）．
∴A₂₀₁₅的坐標(biāo)為 （4$\sqrt{2015}$，0）．
故答案是：（4$\sqrt{2015}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是要根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行求解．