Question

已知a，b為正整數(shù)，且滿足

a+b

a2+ab+b2

=

4

49

，求a+b的值．

Answer 1

分析：利用已知將方程整理為一元二次方程，結(jié)合方程根的情況，得出k的取值范圍，再代入方程得出a+b的值．

解答：解：由49（a+b）=4（a²+ab+b²）及a，b都是正整數(shù)，
故存在正整數(shù)k，使a+b=4k①
從而a²+ab+b²=49k，
即（a+b）²-ab=49k，故ab=16k²-49k②
從而a，b是關(guān)于x的方程
x²-4kx+（16k²-49k）=0③（此也可視作把①代入②，整理成關(guān)于a的類似③的方程）
得兩個正整數(shù)根．
由△=16k²-4（16k²-49k）≥0，
得0≤k≤

49

12

，
∵k為正整數(shù)∴k=1，2，3，4．容易驗(yàn)證，
當(dāng)k=1，2，3時，方程③均無正整數(shù)根；
當(dāng)k=4時，方程③為x²-16x+60=0，
解得x₁=10，x₂=6．
故a+b=4k=16．

點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及方程整數(shù)解的求法，綜合性較強(qiáng)．