Question

如圖，已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=x²+bx+c經過A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，
∴可得A（1，0），B（0，-3），
把A、B兩點的坐標分別代入y=x²+bx+c得：，
解得：．
∴拋物線解析式為：y=x²+2x-3．

（2）令y=0得：0=x²+2x-3，
解得：x₁=1，x₂=-3，
則C點坐標為：（-3，0），AC=4，
故可得S_△ABC=AC×OB=×4×3=6．

（3）拋物線的對稱軸為：x=-1，假設存在M（-1，m）滿足題意：
討論：
①當MA=AB時，，
解得：，
∴M₁（-1，），M₂（-1，-）；
②當MB=BA時，，
解得：M₃=0，M₄=-6，
∴M₃（-1，0），M₄（-1，-6）（不合題意舍去），
③當MB=MA時，，
解得：m=-1，
∴M₅（-1，-1），
答：共存在4個點M₁（-1，），M₂（-1，-），M₃（-1，0），M₄（-1，-1）使△ABM為等腰三角形．
分析：（1）根據直線解析式求出點A及點B的坐標，然后將點A及點B的坐標代入拋物線解析式，可得出b、c的值，求出拋物線解析式；
（2）由（1）求得的拋物線解析式，可求出點C的坐標，繼而求出AC的長度，代入三角形的面積公式即可計算；
（3）根據點M在拋物線對稱軸上，可設點M的坐標為（-1，m），分三種情況討論，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質及三角形的面積，難點在第三問，注意分類討論，不要漏解．