Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙O₁的直徑OA在x軸上，O₁A=2，直線OB交⊙O₁于點B，∠BOA=30°，P為經(jīng)過O、B、A三點的拋物線的頂點。
（1）求點P的坐標；
（2）求證：PB是⊙O₁的切線

Answer 1

解：（1）如圖，連接O1B，過點B作 BC⊥x軸于點C， ∵∠BOA=30°，半徑O1A=2， ∴∠BO1C=60°，O1C=1，BC=， ∴點B坐標為（3，）， 設(shè)過O（0，0）、A（4，0） 兩點拋物線解析式為y=ax（x-4）， ∵點B（3，）在拋物線上， ∴=a×3×（3-4） ∴a=-， ∴拋物線的解析式為y=-x2+x， ∴頂點P的坐標為（2，）； （2）設(shè)過P（2，）、B（3，）兩點直線的的解析式為y=kx+b， 則，解得 ∴直線的的解析式為y=-x+2 令y=0，則x=6， ∴直線PB與x軸的交點坐標為D（6，0）， ∴OD=6，CD=3，O1D=3+1=4 ∵OB=2 ∴BD=2  ∴O1B2+BD2=22+（2）2=16=42=O1D2 ∴O1B2+BD2=O1D2 ∴O1B⊥BD  即PB是⊙O1的切線。