Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖15所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．

　�。�1）求點C的坐標；

　�。�2）若拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過C、A兩點，求此拋物線的函數關系式；

　�。�3）若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作軸的平行線，交拋物線于點M．問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）過點C作CH⊥x軸，垂足為H．

　　∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2， ∴OB＝4，OA＝．

　　由折疊知，∠COB＝30°，OC＝OA＝，∴∠COH＝60°，OH＝，CH＝3.

　　∴C點坐標為（，3）.

　�。�2）∵拋物線y=ax²+bx(a≠0)經過C（，3）、A（，0）兩點,

　　∴ 解得

　　∴此拋物線的函數關系式為y=-x²+2x．

（3）存在．

　　因為的頂點坐標為（，3）,即為點C，MP⊥軸，設垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝30°，所以ON＝t，∴P（