Question

如圖，⊙M經(jīng)過O點，并且與x軸、y軸分別交與A、B兩點，線段OA，OB（OA＞OB）的長時方程x²-17x+60=0的兩根．
（ 1）求線段OA、OB的長；
（2）已知點C在劣弧

OA

上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC²=CD•CB時，求點C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在⊙M上是否存在一點P，使S_△POD=S_△ABD？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（4）點C在優(yōu)弧

OA

上，作直線BC交x軸于D．是否存在△COB∽△CDO？若存在，直接寫出點C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）利用因式分解法解方程x²-17x+60=0，即可得到OA=12，OB=5；
（2）連結(jié)AB、MC、AC，如圖1，根據(jù)圓周角定理得AB為⊙O的直徑，根據(jù)勾股定理計算出AB=13，則MC=

13

2

，由于OC²=CD•CB，根據(jù)相似的判定定理得到△COD∽△CBO，則∠1=∠2，由同弧所對的圓周角相等得到∠2=∠3，所以∠1=∠3，則

OC

=

AC

，根據(jù)垂徑定理的推論得到MC⊥OA，OH=AH=

1

2

OA=6，易得HM=

1

2

OB=

5

2

，所以CH=CM-HM=4，于是可得C點坐標(biāo)為（6，-4）；
（3）先利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y=-

3

2

x+5，再求出D點坐標(biāo)為（

10

3

，0），則OD=

10

3

，AD=OA-OD=

26

3

，設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

•

10

3

•|y|=

1

2

•

26

3

•5，解得y=13或-13，利用⊙M的直徑為13，可判斷⊙M上不存在點P，使其縱坐標(biāo)為13；
（4）連結(jié)AC，CM的延長線交OA于H，如圖2，由△COB∽△CDO得到∠4=∠5，利用等角的余角相等得到∠3=∠1，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠3=∠2，所以∠1=∠2，于是利用圓周角定理有

OC

=

AC

，然后根據(jù)垂徑定理的推論得MC⊥OA，OH=AH=

1

2

OA=6，加上MH=

5

2

，所以CH=CM+MH=9，于是得到C點坐標(biāo)為（6，9）．

解答：解：（1）x²-17x+60=0，
（x-12）（x-5）=0，
解得x₁=12，x₂=5，
所以O(shè)A=12，OB=5；
（2）連結(jié)AB、MC、AC，MC交OA于H，如圖1，
∵∠ACOB=90°，
∴AB為⊙O的直徑，AB=

OB2+OA2

=13，
∴MC=

13

2

，
∵OC²=CD•CB，即OC：CD=CB：OC，
而∠OCD=∠BCO，
∴△COD∽△CBO，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴

OC

=

AC

，
∴MC⊥OA，
∴OH=AH=

1

2

OA=6，
∴HM=

1

2

OB=

5

2

，
∴CH=CM-HM=

13

2

-

5

2

=4，
∴C點坐標(biāo)為（6，-4）；
（3）不存在．理由如下：
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，5），C（6，-4）代入得

b=5 6k+b=-4

，
解得

k=- 3 2 b=5

，
∴直線BC的解析式為y=-

3

2

x+5，
當(dāng)y=0時，-

3

2

x+5=0，解得x=

10

3

，
則D點坐標(biāo)為（

10

3

，0），
∴OD=

10

3

，AD=OA-OD=

26

3

，
∴設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），
∵S_△POD=S_△ABD，
∴

1

2

•

10

3

•|y|=

1

2

•

26

3

•5，解得y=13或-13，
∵⊙M的直徑為13，
∴⊙M上不存在點P，使其縱坐標(biāo)為13；
（4）存在．
連結(jié)AC，CM的延長線交OA于H，如圖2，
∵△COB∽△CDO，
∴∠4=∠5，
而∠5+∠3=90°，∠4+∠1=90°，
∴∠3=∠1，
∵∠3=∠2，
∴∠1=∠2，
∴

OC

=

AC

，
∴MC⊥OA，
∴OH=AH=

1

2

OA=6，
而MH=

5

2

，
∴CH=CM+MH=9，
∴C點坐標(biāo)為（6，9）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用兩點間的距離公式計算線段的長；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．