Question

已知一次函數(shù)y=-2x+c與二次函數(shù)y=ax²+bx-4的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（1，-1），二次函數(shù)的對稱軸是x=-1
（1）請求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）指出一次函數(shù)與二次函數(shù)的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)，并在所給坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象；
（3）結(jié)合圖象，直接寫出二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值的自變量x的取值范圍；
（4）若點(diǎn)P是直線y=-2x+c下方拋物線上一點(diǎn)，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)與不等式（組）

專題：

分析：（1）由一次函數(shù)y=-2x+c與二次函數(shù)y=ax²+bx-4的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（1，-1），二次函數(shù)的對稱軸直線是x=-1，直接利用待定系數(shù)法，即可求得一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）首先聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式得：

y=-2x+1 y=x2+2x-4

，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)分別畫出它們的圖象；
（3）根據(jù)圖象，即可求得二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值的自變量x取值范圍；
（4）設(shè)過P點(diǎn)的直線與直線AB平行，且拋物線與直線只有一個交點(diǎn)時，△ABP的面積最大，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再過點(diǎn)P作PH垂直于x軸交AB于H點(diǎn)，
再求△ABP的最大面積．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-2x+c與二次函數(shù)y=ax²+bx-4的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（1，-1），
∴將點(diǎn)（1，-1）代入一次函數(shù)y=-2x+c，
∴-1=-2+c，
解得：c=1，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-2x+1；
∵二次函數(shù)的對稱軸直線是x=-1，
∴

- b 2a =-1 a-b-4=-1

，
解得：

a=1 b=2

，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²+2x-4；

（2）聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式得：

y=-2x+1 y=x2+2x-4

，
解得：

x=-5 y=11

或

x=1 y=-1

．
所以一次函數(shù)與二次函數(shù)的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-5，11），在所給坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象如下所示：


（3）根據(jù)圖象，可知二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值的自變量x取值范圍是：x＜-5或 x＞1；

（4）設(shè)過點(diǎn)P且平行于直線y=-2x+1的直線為y=-2x+n，將y=-2x+n代入y=x²+2x-4，

整理，得x²+4x-4-n=0，
當(dāng)△ABP面積最大時，△=4²-4（-4-n）=0，
解得n=-8，
由

y=-2x-8 y=x2+2x-4

，
解得

x=-2 y=-4

．
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，-4）．
過點(diǎn)P作PH垂直于x軸交AB于H點(diǎn)，則H（-2，5），
∴PH=9，
∴S_△ABP=S_△AHP+S_△BHP=

1

2

×9×3+

1

2

×9×3=27，
則S_△ABPmax=27．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)交點(diǎn)問題，函數(shù)圖象的畫法．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合及方程思想的應(yīng)用．