Question

【題目】如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形為菱形；

(2)垂直平分線段于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) 見(jiàn)解析；(2)

【解析】

（1）先根據(jù)平行四邊形的定義判定四邊形為平行四邊形，然后由矩形的性質(zhì)可得OD=OC，進(jìn)一步即可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，進(jìn)而可得△BOC是頂角為120°的等腰三角形，過(guò)作于點(diǎn)E，由30°的直角三角形的性質(zhì)可求出OE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)一步即得BC的長(zhǎng)．

（1）證明：，

四邊形是平行四邊形，

矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，

∴AO=CO，BO=DO，AC=BD，

，

平行四邊形為菱形；

（2）解：矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，AC=12，

，

垂直平分線段于點(diǎn)，

，

∴AB=AO=BO=6，

是等邊三角形，

．

．

過(guò)作與點(diǎn)E，如圖，則．

，

∵BO=6，∴，

．

∴．