Question

已知函數y₁=px+q和y₂=ax²+bx+c的圖象交于A（1，-1）和B（3，1）兩點，拋物線y₂與x軸交點的橫坐標為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=2

2

．
（1）求這兩個函數的解析式；
（2）設y₂與y軸交點為C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）將A、B兩點代入函數y₁=px+q中，可求函數解析式，將A、B代入y₂=ax²+bx+c中，再利用根與系數關系，列方程組求y₂的函數關系式；
（2）根據A、B、C三點坐標，利用組合圖形求三角形的面積．

解答：解：（1）將A、B兩點坐標代入函數y₁=px+q中，得

p+q=-1 3p+q=1

，解得

p=1 q=-2

，
∴函數y₁=x-2，
由根與系數關系，得x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，
∵|x₁-x₂|=2

2

，∴（x₁-x₂）²=8，即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=8，b²-4ac=8a²，
將A、B兩點坐標代入函數y₂=ax²+bx+c中，得

a+b+c=-1 9a+3b+c=1 b2-4ac=8a2

，解得

a= 1 2 b=-1 c=- 1 2

或

a=- 1 2 b=3 c=- 7 2

，
∴函數y₂=

1

2

x²-x-

1

2

或y₂=-

1

2

x²+3x-

7

2

；
（2）當y₂=

1

2

x²-x-

1

2

時，C（0，-

1

2

），
S_△ABC=

1

2

×（1+3）×2-

1

2

×3×（1+

1

2

）-

1

2

×1×

1

2

=

3

2

；
當y₂=-

1

2

x²+3x-

7

2

時，C（0，-

7

2

），
S_△ABC=

1

2

×（1+

7

2

）×3-

1

2

×（1+3）×2-

1

2

×1×（

7

2

-1）=

3

2

．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據條件列方程組求函數解析式，利用組合圖形求三角形的面積．