Question

15．圖1中，二次函數(shù)y=-ax²-4ax-$\frac{3}{4}$的圖象c交x軸于A，B兩點（A在B的左側(cè)），過A點的直線$y=kx+3k（k＜-\frac{1}{4}）$交c于另一點C（x₁，y₁），交y軸于M．
（1）求點A的坐標，并求二次函數(shù)的解析式；
（2）過點B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，-3$\sqrt{3}$）且Q點是直線AC上的一個動點．求出當△DBQ與△AOM相似時點Q的坐標；
（3）設(shè)P（-1，2），圖2中連CP交二次函數(shù)的圖象于另一點E（x₂，y₂），連AE交y軸于N．OM•ON是否是一個定值？如果是定值，求出該值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線y=kx+3k求出點A坐標，代入拋物線解析式即可解決問題．
（2）分四種情形討論①如圖1中，當Q在DA的延長線上時，∠BQD=30°，△BQD～△AOM，②當Q與點A重合時，∠BQD=60°△DQB～△OAM，③如圖2中，當Q在線段DC上時，∠BQD=60°，△DQB～△OAM，④如圖3中，當∠BQD=30°時，△DQB～△OMA分別解直角三角形即可．
（3）求出直線PC的解析式，與拋物線組成方程組求出點E坐標，再求出直線AE后求出點N坐標，用k表示OM、ON即可解決問題．

解答 （1）解：y=0，kx+3k=0解之得x=-3，所以A（-3，0），
因為A（-3，0）在y=-ax²-4ax-$\frac{3}{4}$，所以0=-9a+12a-$\frac{3}{4}$，
解之可得a=$\frac{1}{4}$，
所以該二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=-$\frac{1}{4}$x²-x-$\frac{3}{4}$，
（2）在Rt△AOM中，OA=3，OM=3$\sqrt{3}$tan∠OAM=$\frac{OM}{AO}$=$\sqrt{3}$，所以∠OAM=60°，
①如圖1中，當Q在DA的延長線上時，∠BQD=30°，△BQD∽△AOM，
在Rt△ABD中，BD=BA×sin60°=$\sqrt{3}$，
在Rt△BQD中，BD=OQ×sin30°=$\sqrt{3}$，解得BQ=2$\sqrt{3}$，
過Q作在QQ′⊥x軸垂足為Q′，
∵∠BAD=60°=∠BQA+∠QBA，∠BQD=30°，
∴∠QBQ′=30°，
在RT△BQQ′中，∵∠QBQ′=30°，BQ=2$\sqrt{3}$，
QQ′=$\sqrt{3}$，BQ′=3，
所以Q（-4，$\sqrt{3}$）．
②當Q與點A重合時，∠BQD=60°△DQB∽△OAM，此點Q（-3，0）．
③如圖2中，當Q在線段DC上時，∠BQD=60°，△DQB∽△OAM，
在△AQB中，∠BAQ=∠AQB=60°，
得BQ=AB=2，
所以Q（-2，-$\sqrt{3}$）．
④如圖3中，當∠BQD=30°時，△DQB∽△OMA，此時BQ∥OM
設(shè)Q（-1，y）在直線y=-$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$-上，解得y=-2$\sqrt{3}$，
從而Q（-1，-2$\sqrt{3}$）．
綜上所述，Q（-4，$\sqrt{3}$）或Q（-3，0）或Q（-2，-$\sqrt{3}$）或Q（-1，-2$\sqrt{3}$）．
（3）如圖4中，直線y=kx+3k與二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$x²-x-$\frac{3}{4}$圖象的交點是A，C兩點，
所以$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}{x^2}-x-\frac{3}{4}\\ y=kx+3k\end{array}$，整理可得$\frac{1}{4}{x}^{2}$+（k+1）x+（$\frac{3}{4}$+3k）=0，
又因為A（-3，0），C（x₁，y₁），
所以x₁=-4k-1，y₁=-4k²+2k，
過點P（-1，2）與點C的直線：Y=$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}$x+$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}$+2，
直線PC與拋物線的交點，$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}-x-\frac{3}{4}}\\{y=\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}x+\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}+2}\end{array}\right.$，消去y整理得到：
$\frac{1}{4}\\;{x}^{2}$x²+（1+$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}$）x+$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}-\frac{5}{4}$=0，
∴x₂+x₁=x₂+（-4k-1）=-$\frac{1+\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}}{\frac{1}{4}}$，
∴x₂=-1-$\frac{2}{k}$，y₂=$\frac{1}{k}-\frac{1}{{k}^{2}}$，
∴直線AE為y=$\frac{1}{2k}$x+$\frac{3}{2k}$，
∴OM=-3k，ON=-$\frac{3}{2k}$，
∴OM•ON=（-3k）（-$\frac{3}{2k}$）=$\frac{9}{2}$．
∴OM•ON是定值，這個定值是$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，學(xué)會待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，學(xué)會用參數(shù)表示直線解析式、點的坐標，掌握分類討論的思想，屬于中考壓軸題．