Question

15．已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0）、B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．設BP=t．
（1）如圖1，當∠BOP=30°時，求點P的坐標；
（2）如圖2，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；
（3）在（2）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時如圖3，求點P的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（2）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；
（3）首先過點P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的長，然后利用相似三角形的對應邊成比例與m和t的關系，即可求得t的值，得出P點坐標．

解答 解：（1）根據(jù)題意，∠OBP=90°，OB=6，
在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．
∵OP²=OB²+BP²，
即（2t）²=6²+t²，
解得：t₁=2$\sqrt{3}$，t₂=-2$\sqrt{3}$（舍去）．
∴點P的坐標為（2$\sqrt{3}$，6）；

（2）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，
∴∠BOP=∠CPQ，
又∵∠OBP=∠C=90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴$\frac{OB}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$，
由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11-t，CQ=6-m．
∴$\frac{6}{11-t}$=$\frac{t}{6-m}$，
∴m=$\frac{1}{6}$t²-$\frac{11}{6}$t+6（0＜t＜11）；

（3）過點P作PE⊥OA于E，如圖3，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴$\frac{PE}{AC′}$=$\frac{C′E}{AQ}$，
在△PC′E和△OC′B′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEC′=∠OB′C}\\{∠PC′E=∠OC′B′}\\{PE=OB′}\end{array}\right.$，
∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），
∴PC'=OC'=PC，
∴BP=AC'，
∵AC′=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC′=11-2t，
∴$\frac{6}{t}$=$\frac{11-2t}{m}$，
∵m=$\frac{1}{6}$t²-$\frac{11}{6}$t+6，
∴3t²-22t+36=0，
解得：t₁=$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$，t₂=$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$
故點P的坐標為（ $\frac{11-\sqrt{13}}{3}$，6）或（ $\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，6）．

點評 本題考查了幾何變換綜合性題目，用到的知識點有：翻折變換的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程等有關的知識點，綜合性較強，難度較大．清楚翻折前后的兩個圖形全等以及熟悉相似三角形的判定與性質是解決本題的關鍵．