Question

9．已知點A、B分別在反比例函數y=$\frac{2}{x}$（x＞0），y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，且OA⊥OB，tanB=$\frac{1}{2}$，則k=-8．

Answer 1

分析 過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作BD⊥y軸于點D，根據角與角之間的關系即可得出△AOC∽△OBD，由此即可得出$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=$（\frac{AO}{OB}）^{2}$，再根據反比例函數系數k的幾何意義以及tanB=$\frac{1}{2}$即可得出關于k的分式方程，解之即可得出結論．

解答 解：過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作BD⊥y軸于點D，如圖所示．
∵AC⊥y軸，BD⊥y軸，OA⊥OB，
∴∠ACD=∠ODB=90°，∠AOB=90°．
∵∠OAC+∠AOC=90°，∠BOD+∠OBD=90°，∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°，
∴∠AOC=∠OBD，
∴△AOC∽△OBD，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=$（\frac{AO}{OB}）^{2}$．
∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$在第二象限有圖象，
∴k＜0．
∵tanB=$\frac{1}{2}$，S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1，S_△OBD=$\frac{1}{2}$|k|=-$\frac{1}{2}$k，
∴$\frac{1}{-\frac{1}{2}k}$=$\frac{1}{4}$，解得：k=-8，
經檢驗：k=-8是方程$\frac{1}{-\frac{1}{2}k}$=$\frac{1}{4}$的解．
故答案為：-8．

點評 本題考查了反比例函數系數k的幾何意義、相似三角形的判定與性質以及解直角三角形，根據反比例函數系數k的幾何意義結合相似三角形的性質找出關于k的分式方程是解題的關鍵．