Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點在原點的右側，A點的坐標為（-1，0），與y軸交于C（0，-3），點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的表達式；
（2）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC為等腰梯形，直接寫出此時P點的坐標；
（3）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）當點P運動到什么位置時，△BPC的面積最大，求出此時P點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）直接把A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c可得到關于b、c的方程組，解方程組求得b=-2，c=-3，則二次函數的表達式為y=x²-2x-3；
（2）由于拋物線為軸對稱圖形，要得到四邊形ABPC為等腰梯形，只有PC∥AB，則點P與點C是拋物線上的對稱點，可求得拋物線的對稱軸為直線x=1，于是可得到點C（0，-3）關于直線x=1對稱的點P的坐標為（2，-3）．
（3）作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點P，則PO=PC，根據翻折的性質得OP′=OP，CP′=CP，易得四邊形POP′C為菱形，又E點坐標為（0，-

3

2

），則點P的縱坐標為-

3

2

，再把y=

3

2

代入y=x²-2x-3可求出對應x的值，然后確定滿足條件的P點坐標．
（4）過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于△BPC的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出△BPC的面積最大時對應的P點的坐標．

解答：解：（1）把A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c得

1-b+c=0 c=-3

，
解得

b=-2 c=-3

，
∴這個二次函數的表達式為y=x²-2x-3；

（2）如圖1，∵點P是直線BC下方的拋物線上一動點，四邊形ABPC為等腰梯形，
∴PC∥AB，
∴點P與點C是拋物線上的對稱點，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

-2

2×1

=1，
∴點C（0，-3）關于直線x=1對稱的點P的坐標為（2，-3）．

（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點P，垂足為點E，如圖2，
則PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四邊形POP′C為菱形，
∵C點坐標為（0，-3），
∴E點坐標為（0，-

3

2

），
∴點P的縱坐標為-

3

2

，
把y=-

3

2

代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-

3

2

，
解得x=

2± 10

2

，
∵點P在直線BC下方的拋物線上，
∴x=

2+ 10

2

，
∴滿足條件的點P的坐標為（

2+ 10

2

，-

3

2

）．

（4）如圖3，過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，x²-2x-3），
易得，直線BC的解析式為y=x-3
則Q點的坐標為（x，x-3）；
S_△BPC=S_△BPQ+S_△CPQ
=

1

2

QP•BF+

1

2

QP•OF
=

1

2

（-x²+3x）×3
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
當x=

3

2

時，△BPC的面積最大，
此時P點的坐標為（

3

2

，-

15

4

）．

點評：本題考查了二次函數綜合題：二次函數y=ax²+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點式為y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

，當a＞0，y_最小值=

4ac-b2

4a

；當a＜0，y_最大值=

4ac-b2

4a

；拋物線上的點的橫縱坐標滿足拋物線的解析式；對于特殊四邊形的判定與性質以及勾股定理要熟練運用．同時考查了圖形面積的求法等知識點．