Question

9．已知拋物線L：y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B（3，0），該拋物線的對稱軸為直線x=1．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得|PA-PC|最大？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）將拋物線L平移得到拋物線L'，如果拋物線L'經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，那么在拋物線L'上是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，應(yīng)將拋物線L怎樣平移；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)拋物線的對稱性先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后依據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式可得到函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上時(shí)，|PA-PC|有最大值，然后求得直線AC的解析式，然后將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線AC的解析式求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可．
（3）先依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)定義確定出點(diǎn)D的位置，然后依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)平移后拋物線的解析式為y=-x²+bx+3，設(shè)拋物線L′的解析式為y=-x²+bx+3，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入可求得b的值，從而得到L′的解析式，然后確定出拋物線L和L′的頂點(diǎn)坐標(biāo)可確定出平移的方向和距離．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=1對稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
∴拋物線的解析式為：y=-（x-3）（x+1），即y=-x²+2x+3．
（2）如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上時(shí)，|PA-PC|有最大值．

∵令y=-x²+2x+3中，x=0得y=3．
∴C（0，3）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．將A，C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=3，b=3．
∴直線AC的解析式為y=3x+3．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=1，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=3×1+3=6．
∴P（1，6）．
（3）如圖2所示：

∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．
∵平移后不改變拋物線的開口方向可大小，
∴平移后拋物線L′的二次項(xiàng)系數(shù)為-1．
∵拋物線L′經(jīng)過點(diǎn)C，
∴拋物線L′的常數(shù)項(xiàng)為3．
設(shè)拋物線L′的解析式為y=-x²+bx+3．
設(shè)先D的坐標(biāo)為（x，y）．
①當(dāng)點(diǎn)D₁BCA為平行四邊形時(shí)，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\frac{x+0}{2}=\frac{-1+3}{2}$，$\frac{y+3}{2}=\frac{0+0}{2}$，
解得：x=2，y=-3．
∴點(diǎn)D₁的坐標(biāo)為（2，-3）．
將點(diǎn)（2，-3）代入L′的解析式得：-4+2b+3=-3，解得b=-1．
∴L′的解析式為y=-x²-x+3=-（x+$\frac{1}{2}$）²+3$\frac{1}{4}$．
∴可將L先向左平移1.5個(gè)單位，在向下平移0.75個(gè)單位．
②當(dāng)點(diǎn)D₂BCA為平行四邊形時(shí)，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知$\frac{x-1}{2}=\frac{0+3}{2}$，$\frac{0+y}{2}=\frac{0+3}{2}$，
解得：x=4，y=3．
∴點(diǎn)D₂的坐標(biāo)為（4，3）．
將點(diǎn)（4，3）代入L′的解析式得：-16+4b+3=3，解得b=4．
∴L′的解析式為y=-x²+4x+3=-（x-2）²+7．
∴可將L先向右平移1個(gè)單位，在向上平移4個(gè)單位．
③當(dāng)點(diǎn)D₃BCA為平行四邊形時(shí)，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知$\frac{x+3}{2}=\frac{-1+0}{2}$，$\frac{y+0}{2}=\frac{0+3}{2}$，解得：x=-4，y=3．
∴點(diǎn)D₃的坐標(biāo)為（-4，3）．
將點(diǎn)（-4，3）代入L′的解析式得：-16-4b+3=3，解得b=-4．
∴L′的解析式為y=-x²-4x+3=-（x+2）²+7．
∴可將L先向左平移3個(gè)單位，在向上平移4個(gè)單位．
綜上所述，將L先向左平移1.5個(gè)單位，在向下平移0.75個(gè)單位或?qū)�L先向右平移1個(gè)單位，在向上平移4個(gè)單位或?qū)�L先向左平移3個(gè)單位，在向上平移4個(gè)單位時(shí)，在拋物線L'上存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、以及三角形的三邊關(guān)系，明確當(dāng)點(diǎn)A、C、P在一條直線上時(shí)，|PA-PC|有最大值是解答問題（2）的關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖形，然后確定出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解答問題（3）的關(guān)鍵．