Question

【題目】如圖，點(diǎn)A是直線(xiàn)AM與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，BD⊥AM垂足為D，BD與⊙O交于點(diǎn)C，OC平分∠AOB，∠B=60°．

（1）求證：AM是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若DC=2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠B=60°，

∴△BOC是等邊三角形，

∴∠1=∠2=60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OA∥BD，

∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，

∴AM是⊙O的切線(xiàn)

（2）

解：∵∠3=60°，OA=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠OAC=60°，

∵∠OAM=90°，

∴∠CAD=30°，

∵CD=2，

∴AC=2CD=4，

∴AD=2 ，

∴S陰影=S梯形OADC﹣S扇形OAC= （4+2）×2 ﹣ =6 ﹣

【解析】（1）由已知條件得到△BOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2=60°，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到∠1=∠3，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OAM=90°，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠OAC=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CAD=30°，根據(jù)勾股定理得到AD=2 ，于是得到結(jié)論．