Question

如圖，△ABC中，AC=10，∠BAC=30°，點P是射線AB上的一個動點，cos∠CPM=

4

5

，點Q是射線PM上的一個動點．則CQ長度的最小值是

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：動點型

分析：在△PCQ中，由cos∠CPM=

4

5

，可知當(dāng)CP確定時則當(dāng)CQ⊥PM時，CQ最小，而CP最小時則CQ也最小，故當(dāng)CP⊥AN時，CP最小，由直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義可求得CP的最小值為5，可求得CQ最小值為3．

解答：解：由題意可知當(dāng)CP最小時，可知在△CPQ中當(dāng)CQ⊥PM時，CQ有最小值，
當(dāng)CP⊥AN，CQ⊥PM時，如圖，
在Rt△APC中，AC=10，∠BAC=30°，∴PC=5，
在Rt△CPQ中，cos∠CPM=

4

5

，∴PQ=4，
則可求得CQ=3，
故答案為：3．

點評：本題主要考查直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，找到當(dāng)CQ取得最小值時的點P和點Q的位置是解題的關(guān)鍵．