Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，AD=BE，連接DG、CG．以下結(jié)論：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G為AE中點(diǎn)時(shí)，△AGC的面積有最大值．其中正確的結(jié)論有（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)ASA可判定①△BEG≌△AEC，用反證法證明②∠GAC≠∠GCA，G為AE中點(diǎn)時(shí)，GF最長(zhǎng)，故此時(shí)△AGC的面積有最大值．
解答：解：根據(jù)BE=AE，∠GBE=∠CAE，∠BEG=∠CEA可判定①△BEG≌△AEC；
用反證法證明②∠GAC≠∠GCA，假設(shè)∠GAC=∠GCA，則有△AGC為等腰三角形，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，又BF⊥AC，可證得AB=BC，與題設(shè)不符；
由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 連接ED、四邊形ABED為平行四邊形，
∵∠ABC=45°，AE⊥BC于點(diǎn)E，
∴∠GED=∠CED=45°，
∴△GED≌△CED，
∴DG=DC；
④設(shè)AG為X，則易求出GE=EC=2-X 因此，S_△AGC=S_AEC-S_GEC=-+x=-（x²-2x）
=-（x²-2x+1-1）=-（x-1）²+，當(dāng)X取1時(shí)，面積最大，所以AG等于1，所以G是AE中點(diǎn)，
故G為AE中點(diǎn)時(shí)，GF最長(zhǎng)，故此時(shí)△AGC的面積有最大值．
故正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形，全等三角形的判定與性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，難度較大，注意這些知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．