Question

如圖，已知線段AB=a，點(diǎn)C在直線AB上，AC=3AB．
（1）用尺規(guī)作圖畫(huà)出點(diǎn)C；
（2）若點(diǎn)P在線段BC上，且BP：PC=2：3，D為線段PC的中點(diǎn)，求BD的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，若AD=3cm，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離,列代數(shù)式

專題：計(jì)算題

分析：（1）分兩種情況畫(huà)圖：點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上或C點(diǎn)在線段AB的反向延長(zhǎng)線上；
（2）對(duì)于圖1，BC=2a，由BP：PC=2：3可計(jì)算出BP=

2

5

BC=

4

5

a，PC=

3

5

BC=

6

5

a，再由D為線段PC的中點(diǎn)得到PD=

1

2

PC=

3

5

a，然后利用BD=BP+PD計(jì)算得BD=

7

5

a；
對(duì)于圖2，BC=4a，由BP：PC=2：3可計(jì)算得BP=

2

5

BC=

8

5

a，PC=

3

5

BC=

12

5

a，再由D為線段PC的中點(diǎn)得到PD=

1

2

PC=

6

5

a，然后利用BD=BP+PD計(jì)算可得BD=

14

5

a；
（3）對(duì)于圖1，先得到CD=PD=

3

5

a，再計(jì)算出AD=AC-CD=

12

5

a，則

12

5

a=3，然后解方程即可；
對(duì)于圖2，先得到CD=PD=

14

5

a，利用計(jì)算出AD=BC-CD=

6

5

a，則

6

5

a=3，然后解方程即可．

解答：解：（1）如圖所示：
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖1；

當(dāng)C點(diǎn)在線段AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2；
；
（2）對(duì)于圖1，

∵AB=a，
∴AC=3a，
∴BC=2a，
∵BP：PC=2：3，
∴BP=

2

5

BC=

2

5

•2a=

4

5

a，PC=

3

5

BC=

6

5

a，
∵D為線段PC的中點(diǎn)，
∴PD=

1

2

PC=

3

5

a，
∴BD=BP+PD=

4

5

a+

3

5

a=

7

5

a；
對(duì)于圖2，

BC=AB+AC=4a，
∵BP：PC=2：3，
∴BP=

2

5

BC=

2

5

•4a=

8

5

a，PC=

3

5

BC=

12

5

a，
∵D為線段PC的中點(diǎn)，
∴PD=

1

2

PC=

6

5

a，
∴BD=BP+PD=

8

5

a+

6

5

a=

14

5

a；
（3）對(duì)于圖1，CD=PD=

3

5

a，AD=AC-CD=3a-

3

5

a=

12

5

a=3，解得a=

5

4

（cm）；
對(duì)于圖2，CD=PD=

14

5

a，AD=BC-CD=4a-

14

5

a=

6

5

a=3，解得a=

5

2

（cm）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離．也考查了列代數(shù)式和分類討論的思想．