Question

已知，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，M為BC的中點(diǎn)，∠ABC=2∠ACB．

（1）如圖1，N是AC的中點(diǎn)，連接DN，MN，求證：DM=

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AB．
（2）在圖2中，DM=

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AB是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，試說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）首先證明根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得DN=

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AC=NC，再根據(jù)三角形中位線定理可得MN=

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AB，且MN∥AB，再證明∠MDN=∠MND，根據(jù)等角對(duì)等邊DM=MN，進(jìn)而得到DM=

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2

AB；
（2）取AC的中點(diǎn)N，連接DN，MN，證法與（1）類(lèi)似．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形．
又∵N是AC邊上的中點(diǎn)，
∴DN=

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AC=NC，
∴∠NDC=∠ACD，
∵M(jìn)，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN=

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2

AB，且MN∥AB，
∴∠ABC=∠NMC=∠NDM+∠DNM，
又∵∠ABC=2∠ACB=2∠DNC，
∴2∠NDC=∠NDM+∠DNM，
∴∠MDN=∠MND，
∴DM=MN．
∴DM=

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2

AB；

（2）DM=

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2

AB仍然成立，
理由如下：取AC的中點(diǎn)N，連接DN，MN．
∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
又∵N是AC邊上的中點(diǎn)，
∴DN=

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AC=NC．
∴∠NDC=∠ACD．
∵M(jìn)，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN=

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AB且MN∥AB，
∴∠ABC=∠NMC=∠NDM+∠DNM，
又∵∠ABC=2∠ACB=2∠NDC，
∴2∠NDC=∠NDM+∠DNM，
即2∠NDM=∠NDM+∠DNM，
∴∠NDM=∠DNM，
∴DM=MN，
∴DM=

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2

AB．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．