Question

如圖，已知正方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線分別交CD、AB的延長線于點(diǎn)F、G．

求證：BE＝BG＋FC．

Answer 1

答案：
解析：

證明：過點(diǎn)B作GF的平行線交CD于H． 　　∵ABCD是正方形， 　　∴AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝， 　　AB＝BC． 　　∵G在AB延長線上，H、F在CD上， 　　∴BG＝HF． 　　∴BG＋FC＝HF＋FC＝HC． 　　∵AE⊥GF，∴BH⊥AE． 　　∴∠1＋∠ABM＝， 　　∠2＋∠ABM＝． 　　∴∠1＝∠2． 　　在△ABE和△BCH中， 　　 　　∴△ABE≌△BCH． 　　∴BE＝CH． 　　∴BE＝BG＋FC．

提示：

由于GF⊥AE，所以若過點(diǎn)B作GF的平行線交CD于H，則不僅構(gòu)造了全等△ABE和△BCH，而且還將BG平移到FH，將BG＋FC轉(zhuǎn)化為一條線段CH，所以只要證明△ABE≌△BCH即可． 　　證明線段和差的問題，經(jīng)常采用截長補(bǔ)短的作法，此題過點(diǎn)B作GF的平行線，就在CF上補(bǔ)FH＝BG．