Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c 與x軸交與點A（1，0）與點B，且過點C（0，3），
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據題意可知，將點A、B代入函數解析式，列得方程組即可求得b、c的值，求得函數解析式；
（2）存在，設得點P的坐標，將△BCP的面積表示成二次函數，根據二次函數最值的方法即可求得點P的坐標．

解答：解：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

∴

b=-2 c=3

∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）存在．
理由如下：設P點（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四邊形BPCO}-S_△BOC=S_{四邊形BPCO}-

9

2

，
若S_{四邊形BPCO}有最大值，則S_△BPC就最大，
過P點作PE⊥BO，
∴S_{四邊形BPCO}=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}（9分）
=

1

2

BE•PE+

1

2

OE（PE+OC）
=

1

2

（x+3）（-x²-2x+3）+

1

2

（-x）（-x²-2x+3+3）=-

3

2

(x+

3

2

)2+

9

2

+

27

8

當x=-

3

2

時，S_{四邊形BPCO}最大值=

9

2

+

27

8

，
∴S_△BPC最大=

9

2

+

27

8

-

9

2

=

27

8

當x=-

3

2

時，-x²-2x+3=

15

4

，∴點P坐標為（-

3

2

，

15

4

）．

點評：此題考查了二次函數的綜合應用，要注意距離最短問題的求解關鍵是點的確定，還要注意面積的求解可以借助于圖形的分割與拼湊，特別是要注意數形結合思想的應用．