Question

6．以△ABC的邊AB、AC為邊向外作等腰直角三角形EAB和等腰直角三角形DAC，∠EAB=∠DAC=90°，EC、BD交于點(diǎn)O．求證：OA平分∠EOD．

Answer 1

分析 由△ABD和△ACE都是等腰直角三角形得出AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAD=90°，再進(jìn)一步得出∠EAC=∠BAD證得△ABD≌△AEC，過點(diǎn)A分別作AM⊥BD，AN⊥EC，垂足為點(diǎn)M，N．根據(jù)三角形的面積公式求出AN=AM，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出即可．

解答 解：∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AE=AC，
又∵∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
即：∠EAC=∠BAD，
在△ABD和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC（ SAS）
∴BD=EC，
如圖，過點(diǎn)A分別作AM⊥BD，AN⊥EC，垂足為點(diǎn)M，N．
∵△ABD≌△AEC，
∴S_△ABD=S_△AEC，
∴$\frac{1}{2}$BD•AM=$\frac{1}{2}$CE•AN，
∴AM=AN，
∴點(diǎn)A在∠DOE的平分線上，
即OA平分∠EOD．

點(diǎn)評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．