Question

16．關(guān)于二次函數(shù)y=x²-kx+k-1，以下結(jié)論：①拋物線交x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；②不論k取何值，拋物線總是經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；③設(shè)拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，若AB=1，則k=4；④拋物線的頂點(diǎn)在y=-（x-1）²圖象上；⑤拋物線交y軸于C點(diǎn)，若△ABC是等腰三角形，則k=-$\sqrt{2}$，0，1．其中正確的序號(hào)是（　　）

• A． ①②⑤
• B． ②③④
• C． ①④⑤
• D． ②④

Answer 1

分析 令y=x²-kx+k-1=0，求出根的判別式即可判斷①；當(dāng)x=1時(shí)，y=0，拋物線總是經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（1，0），判斷②正確；令k=4時(shí)，求出AB的長，判斷③；求出y=x²-kx+k-1=0頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入y=-（x-1）²，進(jìn)而作出判斷；令k=1，得到y(tǒng)=x²-x，此時(shí)△ABC不是等腰三角形，據(jù)此作出判斷．

解答 解：令y=x²-kx+k-1=0，
△=k²-4k+4=（k+2）²≥0，
即拋物線交x軸有兩個(gè)的交點(diǎn)，①錯(cuò)誤；
當(dāng)x=1時(shí)，y=1-k+k-1=0，
即拋物線總是經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（1，0），②正確；
當(dāng)k=4時(shí)，y=x²-4x+3，
令y=x²-4x+3=0，
解得x=3或1，
則AB=3-1=2，③錯(cuò)誤；
y=x²-kx+k-1=0頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{k}{2}$，$\frac{4k-{k}^{2}-4}{4}$），
當(dāng)x=$\frac{k}{2}$時(shí)，y=-（x-1）²=-$\frac{{k}^{2}+4-4k}{4}$，
即拋物線的頂點(diǎn)在y=-（x-1）²圖象上，④正確；
當(dāng)k=1時(shí)，y=x²-x，此時(shí)△ABC不是等腰三角形，⑤錯(cuò)誤；
正確的有②④，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，此題難度不大．