Question

如圖所示，拋物線y=-（x-m）²的頂點為A，直線l：y=

3

x-

3

m與y軸的交點為B，其中m＞0．
（1）寫出拋物線對稱軸及頂點A的坐標；（用含有m的代數(shù)式表示）
（2）證明點A在直線l上，并求∠OAB的度數(shù)；
（3）動點Q在拋物線的對稱軸上，在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在點P，使以P、Q、A為頂點的三角形與△OAB全等？若存在，求出m的值，并寫出所有符合上述條件的P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點式拋物線解析式即可得出拋物線的對稱軸為x=m，頂點坐標A（m，0）；
（2）將A點的坐標代入直線l的解析式中即可判定出點A是否在直線l上．
根據(jù)題意不難得出OA=m，OB=

3

m，據(jù)此可求出∠OAB的正切值，進而可求出∠OAB的度數(shù)；
（3）本題要分四種情況進行討論：
①當∠AQP=90°，∠QAP=60°，m=3，P點的坐標為（3-3

3

，-3）；
②當∠AQP=90°，∠QPA=60°，m=

3

，P點的坐標為（0，-3）；
③當∠APQ=90°，∠AQP=60°，m=

2

3

，因此P點的坐標為（

2- 3

3

，-

1

3

）；
④當∠APQ=90°，∠QAP=60°，m=2，P點的坐標為（2-

3

，-3）．

解答：解：（1）對稱軸為直線x=m，頂點A（m，0）；

（2）把x=m代入函數(shù)y=

3

x-

3

m，
得y=

3

m-

3

m=0
∴點A（m，0）在直線l上．
當x=0時，y=-

3

m
∴B（0，-

3

m），tan∠OAB=

3

∴∠OAB=60°；

（3）①當∠AQP=90°，∠QAP=60°，AQ=OA=m，PQ=OB=

3

m
，因此P點坐標為（m-

3

m，-m），
將P點的坐標代入拋物線的解析式可得m=

1

3

，
因此P點的坐標為（

1- 3

3

，-

1

3

）．
②當∠AQP=90°，∠QPA=60°，此時P，B重合，
因此P點坐標為（0，-

3

m），
代入拋物線解析式得m=

3

，因此P點的坐標為（0，-3）．
③當∠APQ=90°，∠QAP=60°，PA=m，過P作PC⊥AQ于C，
那么PC=AP•sin60°=

3

2

m，AC=

1

2

m，
因此P點的坐標為（m-

3

2

m，-

1

2

m）．
代入拋物線得m=

2

3

，因此P點的坐標為（

2- 3

3

，-

1

3

）；
④當∠APQ=90°，∠AQP=60°，PA=OB=

3

m，
過P作PD⊥AQ于D，
那么PD=AP•sin30°=

3

2

m，AD=

3

2

m，
因此P點的坐標為（m-

3

2

m，-

3

2

m），
代入拋物線得m=2，
因此P點的坐標為（2-

3

，-3）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及全等三角形的判定等知識點，（3）在不確定全等三角形的對應角和對應邊的情況下要分類討論．