Question

17．已知：如圖在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點的坐標(biāo)為（10，0），對角線OB、AC相交于D點，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過D點，交BC的延長線于E點，且OB•AC=160，則點E的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （5，8）
• B． （5，10）
• C． （4，8）
• D． （3，10）

Answer 1

分析 過點C作CF⊥x軸于點F，由OB•AC=160可求出菱形的面積，由A點的坐標(biāo)為（10，0）可求出CF的長，由勾股定理可求出OF的長，故可得出C點坐標(biāo)，對角線OB、AC相交于D點可求出D點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的解析式，由反比例函數(shù)的解析式與直線BC的解析式聯(lián)立即可求出E點坐標(biāo)即可．

解答 解：過點C作CF⊥x軸于點F，
∵OB•AC=160，A點的坐標(biāo)為（10，0），
∴OA•CF=$\frac{1}{2}$OB•AC=$\frac{1}{2}$×160=80，菱形OABC的邊長為10，
∴CF=$\frac{80}{OA}$=$\frac{80}{10}$=8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴C（6，8），
∵點D是線段AC的中點，
∴D點坐標(biāo)為（$\frac{10+6}{2}$，$\frac{8}{2}$），即（8，4），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過D點，
∴4=$\frac{k}{8}$，即k=32，
∴雙曲線的解析式為：y=$\frac{32}{x}$（x＞0），
∵CF=8，
∴直線CB的解析式為y=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{32}{x}}\\{y=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴E點坐標(biāo)為（4，8）．

點評 此題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．