Question

6．如圖，⊙O為△ABD的外接圓，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線．
（1）求證：∠BAD=∠DBC；
（2）若⊙O的半徑為3，BD⊥OC，且BD=BC，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等即可證明∠BAD=∠DBC；
（2）由垂徑定理可得BE=DE=$\frac{1}{2}$BD，因為BD=BC，所以BE=$\frac{1}{2}$BC，進(jìn)而可得∠C=30°，則∠ABD的度數(shù)也可求出，繼而AD的長可求出．

解答 （1）證明：
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠D=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵BC為⊙O的切線，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠BAD=∠DBC；
（2）∵BD⊥OC，
∴BE=DE=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD=BC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠C=30°，
∴∠DBC=60°，
∴∠ABD=30°，
∵OB=3，
∴AB=6，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論的運用，求出∠C=30°是解題的關(guān)鍵．