Question

9．如圖，在直角坐標系中，點C在第一象限，CB⊥x軸于B，CA⊥y軸于A，CB=3，CA=6，有一反比例函數(shù)圖象剛好過點C．
（1）分別求出過點C的反比例函數(shù)和過A、B兩點的一次函數(shù)的函數(shù)表達式．
（2）直線l⊥x軸，并從y軸出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運動，交反比例函數(shù)圖象于點D，交AC于點E，交直線AB于點F，當直線l運動到經(jīng)過點B時，停止運動，設(shè)運動時間t（秒）
①問是否存在t的值，使四邊形DFBC為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
②若直線l從y軸出發(fā)的同時，有一動點Q從點B出發(fā)，沿射線BC方向，以每秒3個單位的速度運動，是否存在t的值，使以點D、E、Q、C為頂點的四連帶菜為平行四邊形？若存在，求出t的值，并進一步探究此時的四邊形是否為特殊的平行四邊形？若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可以得到點A、B、C的坐標，然后用待定系數(shù)法就可解決問題；
（2）①可用t的代數(shù)式表示DF，然后根據(jù)DF=BC求出t的值，得到DF與CB重合，因而不存在t，使得四邊形DFBC為平行四邊形；
②可分兩種情況（點Q在線段BC和在線段BC的延長線上）討論，由于DE∥QC，要使以點D、E、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形，只需DE=QC，只需將DE、QC分別用t的式子表示，求出t，就可解決問題．

解答 解：（1）由題意可得：點C的坐標為（6，3），點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（6，0）．
設(shè)過點C的反比例函數(shù)的表達式為y=$\frac{m}{x}$，則有m=6×3=18，
∴過點C的反比例函數(shù)的表達式為y=$\frac{18}{x}$．
設(shè)過A、B兩點的一次函數(shù)的函數(shù)表達式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴過A、B兩點的一次函數(shù)的函數(shù)表達式為y=-$\frac{1}{2}$x+3；

（2）①不存在t，使得四邊形DFBC為平行四邊形．
理由：由題可得x_D=x_F=t，
則y_D=$\frac{18}{t}$，y_F=-$\frac{1}{2}$t+3，
∴DF=y_D-yF=$\frac{18}{t}$-（-$\frac{1}{2}$t+3）=$\frac{18}{t}$+$\frac{1}{2}$t-3．
當DF=BC時，$\frac{18}{t}$+$\frac{1}{2}$t-3=3，
整理得：t²-12t+36=0，
解得：t₁=t₂=6，
此時DF與CB重合，
∴不存在t，使得四邊形DFBC為平行四邊形；
②Ⅰ．當0＜t＜1時，點Q在線段BC，
此時DE=$\frac{18}{t}$-3，BQ=3t，CQ=3-3t．
當DE=QC時，$\frac{18}{t}$-3=3-3t，
整理可得：t²-2t+6=0，
∵△=（-2）²-4×1×6=-20＜0，
∴方程無解，
∴當0＜t＜1時，不存在t，使以點D、E、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形．
Ⅱ．當t＞1時，點Q在線段BC的延長線上，
此時DE=$\frac{18}{t}$-3，BQ=3t，CQ=3t-3．
∵DE∥QC，
∴當DE=QC時，四邊形DECQ是平行四邊形，
此時$\frac{18}{t}$-3=3t-3，
整理可得：t²=6，
解得t₁=$\sqrt{6}$，t₂=-$\sqrt{6}$（舍去），
綜上所述：當t=$\sqrt{6}$時，以點D、E、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形．
當t=$\sqrt{6}$時，點Q在線段BC的延長線上，
此時∠DEC=90°，DE=$\frac{18}{\sqrt{6}}$-3=3$\sqrt{6}$-3，EC=6-$\sqrt{6}$，
∴DE≠EC，
∴平行四邊形DECQ只是矩形，不是正方形．

點評 本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式，平行四邊形的判定、解方程、根的判別式等知識，需要注意的是：以點D、E、Q、C為頂點的四邊形的四個頂點的順序不確定，需要分情況討論．