Question

如圖,頂點(diǎn)為A的拋物線y=a（x+2）²﹣4交x軸于點(diǎn)B（1,0）,連接AB,過(guò)原點(diǎn)O作射線OM∥AB，過(guò)點(diǎn)A作AD∥x軸交OM于點(diǎn)D,點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn),連接CD．

（1）求拋物線的解析式,直線AB的解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段OD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段CO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

問(wèn)題一：當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ為等腰三角形？

問(wèn)題二：當(dāng)t為何值時(shí),四邊形CDPQ的面積最��？并求此時(shí)PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）由頂點(diǎn)為A的拋物線y=a（x+2）²﹣4交x軸于點(diǎn)B（1，0）可得：

0=a（1+2）²﹣4，解得：a=，∴拋物線的解析式：，頂點(diǎn)A（﹣2，﹣4），

設(shè)直線AB：y=bx+k，帶入點(diǎn)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得：，解得：，

∴直線AB的解析式：y=，

（2）如圖：

∵OD∥AB，所以得直線OD：y=，

∵AD∥x軸，解得點(diǎn)D（﹣3，﹣4），

解得OD=5，tan∠COD=，sin∠COD=，cos∠COD=，

把y=0帶入拋物線解析式得：0=，

解得：x=1，或x=﹣5，所以點(diǎn)C（﹣5，0），∴OC=5，

由2t≤5，得t≤2.5，OP=t，OQ=5﹣2t，

當(dāng)OP=OQ時(shí)，有：t=5﹣2t，解得t=，

當(dāng)OQ=QP時(shí)，有：t=2（5﹣2t）×，解得t=，

當(dāng)QP=OP時(shí)，有：5﹣2t=2t×，解得t=，

綜上所述，當(dāng)t為，，時(shí)，△OPQ為等腰三角形；

四邊形CDPQ的面積=S_△QCD﹣S_△OQP=×5×4﹣×（5﹣2t）×t×=，

所以當(dāng)t==時(shí)，四邊形CDPQ的面積有最小值，

此時(shí)，OQ=，OP=，sin∠COD=，cos∠COD=，可求得PQ=．