Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6cm，D為邊AB中點(diǎn)．動點(diǎn)P、Q在邊AB上同時從點(diǎn)D出發(fā)，點(diǎn)P沿D→A以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動．點(diǎn)Q沿D→B→D以2cm/s的速度運(yùn)動，回到點(diǎn)D停止．以PQ為邊在AB上方作等邊三角形PQN．將△PQN繞QN的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△MNQ．設(shè)四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm2），點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t（s）（0＜t＜3）．

（1）當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時，求t的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時，求t的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q沿D→B運(yùn)動時，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式．
（4）設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，直接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積比為2：3時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△PQN與△ABC都是等邊三角形，

∴當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合．

∴DQ=3

∴2t=3．

∴t=

（2）

解：∵當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時，點(diǎn)N在邊AB的中線上，

∴PD=DQ，

當(dāng)0＜t＜ 時，

此時，PD=t，DQ=2t

∴t=2t

∴t=0（不合題意，舍去），

當(dāng) ≤t＜3時，

此時，PD=t，DQ=6﹣2t

∴t=6﹣2t，

解得t=2；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時，t=2

（3）

解：由題意知：此時，PD=t，DQ=2t

當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時，

∴MN=BQ

∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t

∴3t=3﹣2t

∴解得t=

如圖①，當(dāng) 時，

S△PNQ= PQ2= t2；

∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ= t2，

如圖②，當(dāng) 時，

設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，

∵M(jìn)N=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，

∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，

∵△EMF是等邊三角形，

∴S△EMF= ME2= （5t﹣3）2

．

（4）

解：MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，

此時， ＜t＜ ，

t=1或 ．

【解析】（1）由題意知：當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，此時DQ=3；（2）當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時，點(diǎn)N在邊AB的中線上，此時PD=DQ；（3）當(dāng) 時，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN；當(dāng) 時，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN．（4）MN、MQ與邊BC的有交點(diǎn)時，此時 ＜t＜ ，列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積表達(dá)式后，即可求出t的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的應(yīng)用，需要了解測高：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能得出正確答案．