Question

已知：如圖，拋物線與軸的交點(diǎn)是、，與軸的交點(diǎn)是C.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)（0<<6）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q.

①當(dāng)取何值時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最大值？其最大值是多少?

②是否存在這樣的點(diǎn)P，使△OAQ為直角三角 形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）∵拋物線過(guò)A（3，0），B（6，0），

                             

            解得：                  

            ∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是

      （2）①∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

             ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）.

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式是.

則有

解得：

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式是.  

∴

  =                   

=.                 

∴當(dāng)時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最大值.最大值是1.

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，∴P（3，0）  

            當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴（不合題意）

            當(dāng)時(shí)，

            設(shè)PQ與軸交于點(diǎn)D.  

            ，

            .

            又

              ∴⊿ODQ∽⊿QDA. ∴，即.

              ∴，

               ，∴.   

              ∴.

              ∴或.

              ∴所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（3，0）或或.

          解法二：

 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，∴P（3，0）   

           當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴（不合題意）

當(dāng)時(shí)，設(shè)PQ與軸交于點(diǎn)D.

           在中，，

           在中，

           在中，，

           ∴.

            ，∴. 

           ∴.

           ∴或.

           ∴所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（3，0）或或.