Question

試求非負整數(shù)對（x，y，z）滿足方程2^x+3^y=z²．

Answer 1

考點：非一次不定方程（組）

專題：

分析：若y=0，可求得方程的一組解（x，y，z）=（3，0，3）．若y＞0，分x為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情形考慮求解即可．

解答：解：若y=0，則有（z+1）（z-1）=2^x，
由于（z+1）-（z-1）=2，
所以只能有z-1=2，z+1=4，得z=3，可得x=3，
所以求得方程的一組解（x，y，z）=（3，0，3）．
若y＞0，下面分x為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情形考慮．
當x=2k+1（k≥0，k∈Z）時，在方程2^x+3^y=z²兩邊mod3，得
z²=2^x（mod3）①
因為z²≡0，1（mod 3），2^2k+1≡2（mod3），所以①式不可能成立，此時方程無非負整數(shù)解．
當x=2k（k≥0，k∈Z）時，有3^y=（z-2k）（z+2k），
又因為（z+2k）-（z-2k）=2k+1，
所以z-2k=1，z+2k=3．
兩式相減，得3y=2k+1+1②．
易知k=0時，y=1，得到一組解為（x，y，z）=（0，1，2）．
當k≥1時，2k+1≡0（mod4），所以在②式兩端mod4后知y為偶數(shù)，
設(shè)y=2n（n≥0，n∈Z），則3n-1=2，3n+1=4．
得n=1，y=2，得方程的一組解為（x，y，z）=（4，2，5）．
綜上，方程有3組解：（x，y，z）=（3，0，3）（0，1，2）（4，2，5）．

點評：考查了非一次不定方程（組），注意分若y=0，若y＞0，兩種情況進行討論，其中第二種情況分x為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情形考慮．