Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，AE=BE、MN=

5

，線段MN的兩端分別在BC，CD邊上滑動，請問當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到距離點(diǎn)C多遠(yuǎn)時(shí)，△CMN與△AED相似，請說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)AE=EB，△AED中AD=2AE，所以在△MNC中，分CM與AE和AD是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CM與CN的關(guān)系，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可．

解答：解：∵AE=EB，AD=2AE，
∴AD=2AE，
又∵△AED與△CMN相似，
∴當(dāng)CM與AD是對應(yīng)邊時(shí)，CM=2CN，即

1

2

CM=CN，
∴CM²+CN²=MN²=5，
即CM²+

1

4

CM²=5，
解得CM=2；
當(dāng)CM與AE是對應(yīng)邊時(shí)，CM=

1

2

CN，
∴CM²+CN²=MN²=5，
即CM²+4CM²=5，
解得CM=1．
所以CM為1或2時(shí)，△CMN與△AED相似．

點(diǎn)評：本題主要利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)和直角三角形勾股定理求解，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊關(guān)系分類討論得出是解題關(guān)鍵．