Question

19．閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，點M是AB邊上的一點，過點M分別作ME∥BD，MF∥AC交直線AC，BD于點E，F(xiàn)，顯然四邊形OEMF是平行四邊形．

探究發(fā)現(xiàn)：
（1）當對角線AC，BD滿足AC⊥BD時，四邊形OEMF是矩形．
（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，且M是AB的中點，判斷四邊形OEMF是什么特殊的平行四邊形，并寫出證明過程．
拓展延伸：
（3）如圖3，在四邊形ABCD為矩形的條件下，若點M是邊AB延長線上的一點，此時OA，ME，MF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的判斷方法即可，
（2）由三角形的中位線判斷出ME=MF，得到鄰邊相等平行四邊形是菱形；
（3）先判斷出四邊形OEMF是平行四邊形，再由平行四邊形的性質得到EA=EM，即可．

解答 （1）解：要使平行四邊形OEMF是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
故答案為AC⊥BD．
（2）四邊形OEMF是菱形．
證明：
在矩形ABCD中，OA=OB，
∵點M是AB的中點，ME∥BD，MF∥AC，
∴ME=$\frac{1}{2}$OB，MF=$\frac{1}{2}$OA，
∴ME=MF，
∵四邊形OEMF是平行四邊形，
∴四邊形OEMF是菱形．
（3）解：MF+OA=ME，
理由：在矩形ABCD中，OA=OB，
∵ME∥BD，MF∥AC，
∴四邊形OEMF是平行四邊形，
∴MF=EO，
∴∠OAB=∠OBA=∠EMA，
∴EA=EM，
∵MF=OE，
∴MF+OA=ME

點評 本題是四邊形的比較簡單的綜合題，主要考查了特殊的四邊形的性質和判定，解本題的關鍵是熟練特殊四邊形的性質和判定，本題的疑點是特殊四邊形的性質和判定的區(qū)別．