Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，將一直角三角形的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方。
（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請說明理由；
（2）若∠BOC=120°；
①將圖1中的三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為____（直接寫出結果）；
②將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請?zhí)骄浚骸螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關系，并說明理由。

Answer 1

解：（1）已知∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°，
∴∠CON=∠COM+90°=150°；
（2）∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠RON=∠COD=30°，
即旋轉60°時ON平分∠AOC，
由題意得，10t=60°或240°，
∴t=6或24；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°，
所以∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關系為：∠AOM-∠NOC=30°。