Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若對(duì)于每一個(gè)給定的的值，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都不小于，求的取值范圍．

（3）直線經(jīng)過點(diǎn)．

①求直線和拋物線的解析式；

②設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線軸，將拋物線在軸左側(cè)的部分沿直線翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖像，請(qǐng)你結(jié)合新圖像回答：

當(dāng)直線與新圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)且時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）；（2）0＜m≤；（3）①直線的解析式為y＝x－2；②b的取值范圍為－4＜b≤5或b＜－．

【解析】

（1）由拋物線的解析式可知它的對(duì)稱軸是x＝1，從而可得答案；

（2）由題意得到拋物線的開口方向，結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得答案；

（3）①利用已知條件建立關(guān)于的方程組，從而可得答案；

②求解過拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)時(shí)，的值，再判斷（b＜－4）與函數(shù) y＝x2－x－4（x＞0）的圖像僅有一個(gè)公共點(diǎn)P時(shí)，的值，結(jié)合圖像可得答案．

解：（1）依題意，可得拋物線的對(duì)稱軸為：x＝1．

∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．

（2）∵點(diǎn)A在二次函數(shù)y＝mx2－2mx+n的圖像上，

∴0＝4m+4m+n．即n＝－8m．

∴y＝mx2－2mx－8m＝，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，－9m）

∵若對(duì)于每一個(gè)給定的x的值，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都不小于－5，

∴

即0＜m≤．

（3）①∵點(diǎn)B在直線y＝x+4m+n上，∴0＝2+4m+n．

又 n＝－8m，

∴m＝，n＝－4．

拋物線的解析式為y＝x2－x－4，

直線的解析式為y＝x－2．

②由y＝x2－x－4得：拋物線與y軸的交點(diǎn)為C（0，－4）．

直線l：y＝－4，依題意翻折后的圖像如圖所示．

令y＝8，則 x2－x－4＝8．解得x1＝－4，x2＝6．

∴新圖像經(jīng)過點(diǎn)（6，8）．

當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過（6，8）點(diǎn)時(shí)，可得b＝5．

當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，可得b＝－4．

當(dāng)直線y＝x+b（b＜－4）與函數(shù) y＝x2－x－4（x＞0）的圖像僅有一個(gè)公共點(diǎn)P時(shí)，

也就是方程x2－x－4＝x+b有相等的實(shí)數(shù)根．

整理方程，得 x2－3x－（8+2b）＝0．

由根的判別式＝（－3）2+4（8+2b）＝8b+41＝0，得b＝－．

結(jié)合圖像可知，b的取值范圍為－4＜b≤5或b＜－．

【點(diǎn)晴】

本題考查的二次函數(shù)的基本性質(zhì)，以及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，同時(shí)考查了函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，字母的取值范圍，從圖像中獲取信息就是解題的關(guān)鍵．