Question

如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A（﹣2 ，0）、B（2 ，0）、C（0 ，﹣1）三點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點(diǎn)．分別過點(diǎn)C，D（0，﹣2）作平行于x軸的直線l₁、l₂．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式；
（2）求證以O(shè)N為直徑的圓與直線l₁相切；
（3）求線段MN的長(zhǎng)（用k表示），并證明M、N兩點(diǎn)到直線l₂的距離之和等于線段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c， 由， 解得：a=，b=0，c=﹣1， 所以y=x2﹣1； （2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）， 因?yàn)辄c(diǎn)M、N在拋物線上， 所以y1=x12﹣1，y2=x22﹣1， 所以x22=4（y2+1）； 又ON2=x22+y22=4（y2+1）+y22=（y2+2）2， 所以O(shè)N=， 又因?yàn)閥2≥﹣l， 所以O(shè)N=2+y2． 設(shè)ON的中點(diǎn)為E，分別過點(diǎn)N、E向直線l1作垂線， 垂足為P、F， 則EF=， 所以O(shè)N=2EF， 即ON的中點(diǎn)到直線l1的距離等于ON長(zhǎng)度的一半， 所以以O(shè)N為直徑的圓與l1相切； （3）過點(diǎn)M作MH⊥NP交NP于點(diǎn)H， 則MN2=MH2+NH2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）， 又y1=kx1，y2=kx2， 所以（y2﹣y1）2=k2（x2﹣x1）2， 所以MN2=（1+k2）（x2﹣x1）2； 又因?yàn)辄c(diǎn)M 、N 既在y=kx的圖象上，又在拋物線上， 所以kx=x2﹣1，即x2﹣4kx﹣4=0， 所以x=， 所以（x2﹣x1）2=16（1+k2）， 所以MN2=16（1+k2）2， ∴MN=4（1+k2）， 延長(zhǎng)NP交l2于點(diǎn)Q， 過點(diǎn)M作MS⊥l2交l2于點(diǎn)S， 則MS+NQ=y1+2+y2+2 =x12﹣1+x22﹣1+4=（x12+x22）+2， 又x12+x22=2[4k2+4（1+k2）]=16k2+8， 所以MS+NQ=4k2+2+2=4（1+k2）=MN， 即M、N兩點(diǎn)到l2距離之和等于線段MN的長(zhǎng)．