Question

如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE=AD．
（1）求證：BD=DE；
（2）若點D是AC邊上任意一點，且CE=AD，（1）中的結論還成立嗎？若成立請證明，若不成立請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角對等邊）；

（2）解：BD=DE仍然成立．
證明：作DF∥AB交BC于點F，
∴∠DFC=∠DCF=∠ABC=60°，
∴△DFC是等邊三角形，
∴DF=DC，
∵AD=CE，
∴AD+DC=CE+CF=BC，
即：BC=EF，
∴△BDC≌△EDF，
∴BD=ED．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據(jù)角之間的關系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對等邊即可得到DB=DE．
（2）結論仍然成立，作DF∥AB交BC于點F，證得△BDC≌△EDF后即可證得結論．
點評：此題主要考查學生對等邊三角形的性質及三角形外角的性質的理解及運用；利用三角形外角的性質得到∠CDE=30°是正確解答本題的關鍵．