Question

2．如圖1，?OABC的邊OC在x軸的正半軸上，OC=5，反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，4）．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式和點B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過BC的中點D作DP∥x軸交反比例函數(shù)圖象于點P，連接AP、OP．
①求△AOP的面積；
②在?OABC的邊上是否存在點M，使得△POM是以PO為斜邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合點A、O、C的坐標(biāo)即可求出點B的坐標(biāo)；
（2）①延長DP交OA于點E，由點D為線段BC的中點，可求出點D的坐標(biāo)，再令反比例函數(shù)關(guān)系式中y=2求出x值即可得出點P的坐標(biāo)，由此即可得出PD、EP的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
②假設(shè)存在，以O(shè)P為直徑作圓，交OC于點M₁，交OA于點M₂，通過解直角三角形和勾股定理求出點M₁、M₂的坐標(biāo)，此題得解．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，4），
∴m=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=$\frac{4}{x}$（x＞0）．
∵四邊形OABC為平行四邊形，且點O（0，0），OC=5，點A（1，4），
∴點C（5，0），點B（6，4）．
（2）①延長DP交OA于點E，如圖3所示．
∵點D為線段BC的中點，點C（5，0）、B（6，4），
∴點D（$\frac{11}{2}$，2）．
令y=$\frac{4}{x}$中y=2，則x=2，
∴點P（2，2），
∴PD=$\frac{11}{2}$-2=$\frac{7}{2}$，EP=ED-PD=$\frac{3}{2}$，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$EP•（y_A-y_O）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×（4-0）=3．
②假設(shè)存在．以O(shè)P為直徑作圓，交OC于點M₁，交OA于點M₂，連接PM₁、PM₂，如圖4所示．
∵點P（2，2），O（0，0），
∴點M₁（2，0）；
∵點A（1，4），點O（0，0），
∴直線OA的關(guān)系式為y=4x．
設(shè)點M₂（n，4n），
∵S_△AOP=3，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴PM₂=$\sqrt{（n-2）^{2}+（4n-2）^{2}}$=$\sqrt{17{n}^{2}-20n+8}$=$\frac{2{S}_{△AOP}}{OA}$=$\frac{6\sqrt{17}}{17}$，
即289n²-340n+100=0，
解得：n=$\frac{10}{17}$，
∴點M₂（$\frac{10}{17}$，$\frac{40}{17}$）．
故在?OABC的邊上存在點M，使得△POM是以PO為斜邊的直角三角形，點M的坐標(biāo)為（2，0）或（$\frac{10}{17}$，$\frac{40}{17}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式、平行四邊形的性質(zhì)以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)解析式；（2）①求出EP長度；②以O(shè)P為直徑作圓，找出點M的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，通過作圓來確定點的數(shù)目與位置是關(guān)鍵．