Question

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上中線．
（1）如果AD=

1

2

BC，求證：△ABC是直角三角形；
（2）如果AB=5，AC=13，AD=6．求BC的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的中線定義求出AD=BD=DC，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式計算即可求出∠BAC=90°．
（2）延長AD到E使AD=DE，連接CE，證△ABD≌△ECD，求出AE和CE的長，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠E=90°，根據(jù)勾股定理求出CD即可．

解答：證明：（1）∵AD=

1

2

BC，BD=CD=

1

2

BC，
∴AD=BD=DC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
即∠BAC=90°．
（2）延長AD到E使AD=DE，連接CE，

在△ABD和△ECD中

AD=DE ∠ADB=∠EDC BD=DC

，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC²=AE²+CE²，
∴∠E=90°，
由勾股定理得：CD=

DE2+CE2

=

61

，
∴BC=2CD=2

61

．

點評：本題綜合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中線等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確地作輔助線，把已知條件轉(zhuǎn)化成一個直角三角形，題型較好．本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明，主要利用了等邊對等角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．