Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的平分線交BC于點O，以O(shè)為圓心做圓，⊙O與AC相切于點D．
（1）試判斷AB與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明．
（2）在Rt△ABC中，若AC=6，AB=3，求切線AD的長．

Answer 1

考點：切線的判定,切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點O作OE⊥AB，垂足為E，連接OD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出OE=OD，繼而可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC，可得出⊙O的半徑，從而得出切線AD的長．

解答：證明：（1）過點O作OE⊥BA，垂足為E，連接OD，
∵AC是圓的切線，
∴OD⊥AC，
又∵OC為∠BAC的平分線，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑，
∴BA與⊙0相切；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，
∵S_△ABC=S_△AOC+S_△BOA，
∴

1

2

AC×BA=

1

2

AC×OD+

1

2

BA×OE，
∵OE=OD=r，AC=6，AB=3，
∴r（AC+BA）=18，
即9r=18，
解得：r=2．
∵∠DAO=∠DOA=45°，
∴AD=OD=r，
即AD的長為2．

點評：本題考查了切線的判定及性質(zhì)，利用等積法求圓的半徑是很巧妙的方法，也比較重要，希望同學們認真掌握．