Question

3．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$與y=mx交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，2），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在AB的上方．
（1）求k、m的值及B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在x軸的 正半軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若S_△ABP=12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法以及A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可解決問(wèn)題．
（2）如圖1中，作AE⊥x軸于E，BM⊥y軸于M．分兩種情形討論即可①當(dāng)AQ′=AB=4$\sqrt{5}$時(shí)，△ABQ是等腰三角形，②當(dāng)BA=BQ時(shí)，△ABQ是等腰三角形．
（3）如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M．根據(jù)S_△ABP=$\frac{1}{2}$|x_A-x_B|•|y_P-y_M|列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）將A（4，2）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=8，
將A（4，2）代入y=mx得，m=$\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
∴B（-4，-2），
∴k=8，m=$\frac{1}{2}$，B（-4，-2）．

（2）如圖1中，作AE⊥x軸于E，BM⊥y軸于M．

∵A（4，2）、B（-4，-2）
∴AB=4$\sqrt{5}$
當(dāng)AQ′=AB=4$\sqrt{5}$時(shí)，△ABQ是等腰三角形，
∴Q′E=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{76}$，
∴Q′（4+$\sqrt{76}$，0），
當(dāng)BA=BQ時(shí)，△ABQ是等腰三角形，QM=$\sqrt{B{Q}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{76}$
Q（$\sqrt{76}$-4，0）．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為（4+$\sqrt{76}$，0）或（$\sqrt{76}$-4，0）．

（3）如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M．

設(shè)P（a，$\frac{8}{a}$），則M（a，$\frac{a}{2}$），
S_△ABP=$\frac{1}{2}$|x_A-x_B|•|y_P-y_M|=$\frac{1}{2}$×8×（$\frac{8}{a}$-$\frac{a}{2}$）=12
解得：a=-8（舍去）  a=2，
∴P（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的判定、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常壓軸題．