Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（6，0），（6，8）．動點M、N分別從O、B同時出發(fā)，都以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連接MP，已知動點運動了t秒．
（1）當t=2秒時，則點N的坐標

 

；（直接寫出答案）
（2）當△APM的面積為

10

3

時，求t的值；
（3）是否存在t的值，使以P、A、M為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由A、B的坐標分別為（6，0），（6，8）可以求出OA=6，AB=8，BC=6，由矩形的性質(zhì)來求點N的坐標；
（2）根據(jù)三角形的面積公式可以得出S_△MPA=

1

2

AM•EP建立方程求出其解即可；
（3）先假設(shè)以P、A、M為頂點的三角形與△AOC相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算，若能求出t，則存在；否則不存在．

解答：解：（1）如圖，∵平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（6，0），（6，8），
∴OC=AB=8，OA=BC=6，BC∥AO．
又點N的運動速度是每秒1個單位，
∴當t=2時，CN=6-2=4，
則N（4，8）．
故答案是：（4，8）．

（2）如圖，延長NP交OA于點E，
∵NP⊥BC，
∴NP⊥OA．
∵tan∠OAC=tan∠EAP，
∴

OC

OA

=

PE

AE

，即

8

6

=

PE

AE

，
∴PE=

4

3

AE．
∵AM=6-t，PE=

4

3

AE=

4

3

AN=

4

3

t，
∴

1

2

（6-t）•

4

3

t=

10

3

，
∴t₁=1；t₂=5，
綜上所述，當△APM的面積為

10

3

時，t的值是1秒或5秒；

（3）存在．理由如下：
在△ACB中，PN∥AB，
則

BN

BC

=

AP

AC

，
即

t

6

=

AP

10

，
解得AP=

5

3

t，
又∵AM=6-t，
則有：①△AMP∽△AOC時，

AM

AO

=

AP

AC

，即

6-t

6

=

5t 3

10

，解得t=3秒；
②△APM∽△AOC時，

AP

AO

=

AM

AC

，即

5t 3

6

=

6-t

10

，解得t=

27

17

秒，
綜上所述，當t=3秒或t=

27

17

秒時，以P、A、M為頂點的三角形與△AOC相似．

點評：本題考查了動點問題與相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，逐步解答，充分利用前一問題的結(jié)論是解題的關(guān)鍵，同時要注意分類討論．